מחשבון משולש ישר זווית (פיתגורס וטריגונומטריה)

מחשבון משולש ישר זווית משלים את כל נתוני המשולש משני נתונים בלבד: אורכי צלעות, זוויות, שטח, היקף, הגובה ליתר ורדיוסי המעגלים החוסם והחסום. הוא משתמש במשפט פיתגורס ובפונקציות הטריגונומטריות, ומציג את שלבי החישוב. המחשבון אונליין, בחינם וללא הרשמה.

איך משתמשים במחשבון

ממלאים כל שני נתונים ידועים ומשאירים את השאר ריקים. הצירופים האפשריים הם שתי צלעות, או צלע אחת וזווית חדה אחת. שתי זוויות לבדן אינן מספיקות, כי הן קובעות את צורת המשולש אבל לא את גודלו.

סימון הצלעות והזוויות הוא הסימון המקובל: a ו-b הם הניצבים, c הוא היתר, הזווית α נמצאת מול הצלע a והזווית β מול הצלע b. הזוויות מוזנות במעלות.

משפט פיתגורס

במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

מכאן נגזרות שלוש הנוסחאות שמשמשות בפועל:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 – b^2} \qquad b = \sqrt{c^2 – a^2}$$

דוגמה: ניצבים של 3 ו-4. סכום הריבועים הוא 9 ועוד 16, כלומר 25, והיתר הוא 5. זו השלשה הפיתגורית המפורסמת ביותר, ויש עוד רבות כמו 5, 12, 13 או 8, 15, 17.

שימו לב שהיתר תמיד ארוך מכל אחד מהניצבים, כי הוא מול הזווית הגדולה ביותר. אם קיבלתם יתר קצר מניצב, נפלה טעות בהזנה.

טריגונומטריה: כשיש זווית

כששני הנתונים הם צלע וזווית, פיתגורס לבדו אינו מספיק וצריך את היחסים הטריגונומטריים:

$$\sin \alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c} \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}$$

במילים: סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר, קוסינוס הוא הניצב שליד הזווית חלקי היתר, וטנגנס הוא היחס בין שני הניצבים. ראשי התיבות שעוזרים לזכור זאת הם "מול, יתר, ליד".

בכיוון ההפוך, כששתי הצלעות ידועות והזווית אינה, משתמשים בפונקציות ההופכיות, למשל:

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$$

ומכיוון שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ואחת מהן ישרה, שתי הזוויות החדות משלימות תמיד ל-90 מעלות.

שטח, היקף וגדלים נוספים

השטח של משולש ישר זווית פשוט במיוחד, כי שני הניצבים הם בסיס וגובה זה של זה:

$$S = \frac{a \cdot b}{2}$$

הגובה ליתר, שהוא גובה שימושי בבעיות דמיון משולשים, מתקבל מהשוואת שני ביטויי השטח:

$$h = \frac{a \cdot b}{c}$$

המעגל החוסם של משולש ישר זווית מרכזו תמיד באמצע היתר, ולכן הרדיוס שלו הוא חצי היתר. זו תוצאה ישירה של משפט תאלס. רדיוס המעגל החסום נתון בנוסחה הנוחה: סכום הניצבים פחות היתר, חלקי שתיים.

שימושים מעשיים

• בדיקת זווית ישרה בבנייה. שיטת 3-4-5 היא הדרך המהירה לוודא שפינה אכן ישרה: מודדים 3 יחידות בכיוון אחד, 4 בשני, והאלכסון חייב לצאת בדיוק 5.
• חישוב אורך אלכסון. אורך סולם שצריך להגיע לגובה מסוים, אורך מוט חיזוק, או האלכסון של מסך ושל חדר.
• שיפועים וגגות. שיפוע גג או רמפה מתורגם לזווית דרך הטנגנס, ואורך המשטח האלכסוני דרך פיתגורס.
• ניווט וסרטוט טכני. פירוק של תזוזה אלכסונית לרכיבים אופקיים ואנכיים הוא בדיוק החישוב הזה.
• פיזיקה. פירוק וקטורים של כוח, מהירות ותאוצה לרכיבים ניצבים נשען כולו על היחסים האלה.

טעויות נפוצות

• בלבול בין ניצב ליתר. היתר הוא תמיד הצלע שמול הזווית הישרה והארוכה ביותר.
• שימוש בפיתגורס במשולש שאינו ישר זווית. שם צריך את משפט הקוסינוסים.
• מעלות מול רדיאנים. מחשבון כיס שנמצא במצב רדיאנים ייתן תשובות שגויות לחלוטין. המחשבון כאן עובד במעלות.
• שכחת השורש. פיתגורס נותן את c בריבוע, ועדיין צריך להוציא שורש כדי לקבל את האורך.