מחשבון משוואה ריבועית (שורשים, דיסקרימיננטה וקודקוד)

מחשבון משוואה ריבועית פותר כל משוואה מהצורה ax² + bx + c = 0, מציג את הדיסקרימיננטה, את השורשים, את קודקוד הפרבולה ואת שלבי החישוב עצמם. הוא מטפל גם במקרה שבו אין פתרון ממשי ומציג את השורשים המרוכבים. המחשבון אונליין, בחינם וללא הרשמה.

איך משתמשים במחשבון

מזינים את שלושת המקדמים ולוחצים על "פתור". חשוב לשים לב לסימנים: במשוואה x² – 5x + 6 = 0 המקדם b הוא מינוס חמש ולא חמש. אם במשוואה חסר אחד האיברים, המקדם שלו הוא אפס: במשוואה x² – 9 = 0 המקדם b הוא 0 והמקדם c הוא מינוס תשע.

אם המקדם a שווה לאפס המשוואה אינה ריבועית אלא לינארית, והמחשבון יפתור אותה ככזו ויציין זאת.

הנוסחה שכולם מכירים

הפתרון הכללי של משוואה ריבועית נתון בנוסחת השורשים:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

הביטוי שמתחת לשורש הוא הדיסקרימיננטה, ומסמנים אותה באות היוונית דלתא:

$$\Delta = b^2 – 4ac$$

הדיסקרימיננטה לבדה כבר מספרת את כל הסיפור, עוד לפני שמחשבים משהו:

• Δ גדול מאפס – שני פתרונות ממשיים שונים. גרפית: הפרבולה חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות.
• Δ שווה לאפס – פתרון יחיד, שנקרא שורש כפול. הפרבולה משיקה לציר ה-x בדיוק בנקודה אחת, שהיא גם הקודקוד.
• Δ קטן מאפס – אין פתרון ממשי. הפרבולה כולה מעל ציר ה-x או כולה מתחתיו. בתחום המספרים המרוכבים יש שני פתרונות צמודים.

איך פותרים ידנית, צעד אחר צעד

דוגמה: נפתור את x² – 5x + 6 = 0.

1. מזהים את המקדמים: a שווה 1, b שווה מינוס 5, c שווה 6.
2. מחשבים דיסקרימיננטה: מינוס חמש בריבוע הוא 25, פחות ארבע כפול 1 כפול 6 שהם 24. הדיסקרימיננטה היא 1.
3. הדיסקרימיננטה חיובית, ולכן יש שני פתרונות. השורש שלה הוא 1.
4. מציבים: x שווה חמש ועוד או פחות אחת, חלקי שתיים. מכאן x₁ שווה 3 ו-x₂ שווה 2.
5. בודקים: 3 כפול 2 הוא 6, שזה c חלקי a, ו-3 ועוד 2 הם 5, שזה מינוס b חלקי a. הפתרון נכון.

נוסחאות וייטה: דרך קיצור שמשתלמת

בלי לפתור את המשוואה אפשר לדעת את סכום השורשים ואת מכפלתם:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

זו דרך מצוינת לבדוק תשובה בבחינה בתוך שניות, והיא גם מאפשרת לפתור משוואות פשוטות בעל פה. במשוואה x² – 7x + 12 = 0 מחפשים שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 12, ומיד מזהים את 3 ואת 4.

הקשר לפרבולה

לכל משוואה ריבועית מתאימה פונקציה ריבועית, והגרף שלה הוא פרבולה. השורשים הם נקודות החיתוך עם ציר ה-x, והקודקוד נמצא בדיוק באמצע ביניהם:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$

אם a חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה והקודקוד הוא נקודת מינימום. אם a שלילי היא פתוחה כלפי מטה והקודקוד הוא מקסימום. התכונה הזו היא הבסיס לכל בעיות הערך המרבי והמזערי: שטח מקסימלי בגדר באורך נתון, רווח מרבי, או הגובה המרבי של גוף שנזרק כלפי מעלה.

איפה פוגשים משוואות ריבועיות

• תנועה שוות תאוצה. המיקום תלוי בריבוע הזמן, ולכן השאלה מתי גוף מגיע לגובה מסוים היא משוואה ריבועית.
• שאלות שטח. מלבן שאורכו גדול ברוחבו במספר נתון ושטחו ידוע מוביל ישירות למשוואה ריבועית.
• אלקטרוניקה. חישובי הספק מכילים ריבוע של זרם או של מתח, ולכן גם שם מופיעות משוואות כאלה.
• כלכלה והנדסה. בעיות מיטוב רבות מתוארות בפונקציה ריבועית שמחפשים את הקודקוד שלה.

טעויות נפוצות

• שכחת הסימן של b. הנוסחה מתחילה במינוס b, כך שאם b שלילי, מינוס b הוא חיובי.
• ריבוע של מספר שלילי. מינוס שלוש בריבוע הוא תשע חיובי, לא מינוס תשע.
• חלוקה ב-2a רק של חלק מהביטוי. הקו השברי חל על כל המונה, כולל מינוס b.
• סידור לא נכון לפני ההצבה. לפני שמזהים מקדמים צריך להעביר את כל האיברים לצד אחד כך שבצד השני יישאר אפס.